Identità di Picone

In analisi matematica, nel settore delle equazioni differenziali ordinarie, l'identità di Picone, il cui nome si deve a Mauro Picone, è un risultato considerato classico per le equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine. È utile per studiare le oscillazioni delle loro soluzioni, ma è stata generalizzata per altri tipi di equazioni differenziali e di equazioni alle differenze.

L'identità di Picone serve per dimostrare il teorema del confronto di Sturm-Picone.

Enunciato

Si supponga che ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ siano le soluzioni di due equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta:

${\displaystyle (p_{1}(x)u')' q_{1}(x)u=0}$

e:

${\displaystyle (p_{2}(x)v')' q_{2}(x)v=0}$

Allora, per ogni ${\displaystyle x}$ tale che ${\displaystyle v(x)\neq 0}$, vale la seguente identità:

${\displaystyle \left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'=\left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2} \left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2} p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2}}$

Dimostrazione

Basta svolgere i calcoli:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'&=\left(up_{1}u'-p_{2}v'u^{2}{\frac {1}{v}}\right)'=\\&=u'p_{1}u' u(p_{1}u')'-(p_{2}v')'u^{2}{\frac {1}{v}}-p_{2}v'2uu'{\frac {1}{v}} p_{2}v'u^{2}{\frac {v'}{v^{2}}}=\\&=p_{1}u'^{2}-2p_{2}{\frac {uu'v'}{v}} p_{2}{\frac {u^{2}v'^{2}}{v^{2}}} u(p_{1}u')'-(p_{2}v')'{\frac {u^{2}}{v}}=\\&=p_{1}u'^{2}-p_{2}u'^{2} p_{2}u'^{2}-2p_{2}u'{\frac {uv'}{v}} p_{2}\left({\frac {uv'}{v}}\right)^{2}-u(q_{1}u) (q_{2}v){\frac {u^{2}}{v}}=\\&=\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2} p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2} \left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2}\end{aligned}}}$

Bibliografia

• Mauro Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale lineare del secondo ordine, in Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 11, 1910, pp. 1–141.
• (EN) Charles A. Swanson, Picone's Identity, in Rendiconti di Matematica, vol. 8, n. 2, 1975, pp. 373-397.

Voci correlate

• Operatore autoaggiunto
• Teorema del confronto di Sturm-Picone

Collegamenti esterni

• Ondřej Došlý The Picone identity for a class of partial differential equations (PDF), su dml.cz. URL consultato il gennaio 2016.
• W. Kratz e A. Peyerimhoff, A Treatment of Sturm-Liouville Eigenvalue Problems via Picone's Identity in Analysis. Volume 5, Issue 1-2, Pages 97–152 (giugno 1985) (XML), su degruyter.com. URL consultato il gennaio 2016.