Proprietà di cancellazione

In algebra, sono dette proprietà di cancellazione o di semplificazione le seguenti: sia ${\displaystyle \left(G;\star \right)}$ un gruppo; allora presi tre elementi ${\displaystyle a,b,c\in G}$ valgono le implicazioni

• ${\displaystyle a\star b=a\star c\implies b=c}$ (cancellazione a sinistra)
• ${\displaystyle a\star b=c\star b\implies a=c}$ (cancellazione a destra)

Le due proprietà sono equivalenti se ${\displaystyle G}$ è un gruppo abeliano.

Per dimostrare tale proprietà è sufficiente tenere presente la proprietà associativa, il fatto che in un gruppo ogni elemento ha elemento inverso e che esiste l'elemento neutro. Ad esempio, per provare la legge di cancellazione a sinistra è sufficiente osservare che se ${\displaystyle a\star b=a\star c}$ allora

${\displaystyle b=e\star b=(a^{-1}\star a)\star b=a^{-1}\star (a\star b)=a^{-1}\star (a\star c)=(a^{-1}\star a)\star c=e\star c=c,}$

dove abbiamo indicato con ${\displaystyle e}$ l'elemento neutro di ${\displaystyle G}$. La legge di cancellazione a destra si prova in modo del tutto analogo.

È importante osservare che le proprietà di cancellazione possono valere anche in insiemi che non sono gruppi, e quindi la validità delle proprietà di cancellazione in un insieme ${\displaystyle \left(S;\star \right)}$ non è in generale condizione sufficiente per stabilire che ${\displaystyle \left(S;\star \right)}$ è gruppo.

Un magma in cui vale la proprietà di cancellazione a sinistra (rispettivamente a destra) si dice cancellativo a sinistra (rispettivamente a destra). Un quasigruppo è sempre cancellativo.

Esempi

• I numeri naturali formano un monoide cancellativo rispetto all'addizione.
• L'insieme delle matrici quadrate con il prodotto non soddisfa tale proprietà: se ${\displaystyle AB=AC}$ e ${\displaystyle A\neq 0}$, allora la cancellazione vale solo se ${\displaystyle A}$ è invertibile. Se invece ${\displaystyle \det(A)=0}$, allora l'equazione matriciale ${\displaystyle AX=B}$ non ha un'unica soluzione.

Voci correlate

• Gruppo (matematica)
• Quasigruppo
• Magma (matematica)

Collegamenti esterni

• (EN) Proprietà di cancellazione, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.